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Para un alumno

Resolución de problemas en Matemáticas

Un buen modelo de currículo, Barney Stinson (

)
Para pensar mejor. Desarrollo de la creatividad a través de..., Miguel de Guzmán
Mi noche abierta. Cartas. Y pensamientos y poesías inéditos, Pedro Ruiz
Ciencia e hipótesis, Henri Poincaré

Resolución de problemas en Matemáticas

Por si es de interés para alguien, incluyo el apartado sobre resolución de problemas de un breve trabajo que hice como memoria para un curso de primavera de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED), que tuvo lugar en Ávila en los días 31 de marzo, y 1 y 2 de abril del 2006. La introducción y los otros dos apartados, sobre metodología y didáctica, están en Un paseo científico. Quizá sean de interés las diferencias que se mencionan en la introducción entre los conceptos «metodología», «didáctica» y «pedagogía», por un lado, y «ejercicio» y «problema», por otro. El trabajo completo en formato PDF está disponible aquí: . Me gustaría dejar claro que en este trabajo mi única aportación ha sido la compilación y redacción de su contenido, que tiene como autores a quienes se menciona en su bibliografía: Javier Brihuega Nieto, María B. Molero Aparicio y Adela Salvador Alcaide, Javier Peralta Coronado, y Carlos Romera Carrión. Gracias a ellos.
Resolución de problemas
Como muy bien afirma el National Council of Teachers of Mathematics, «La resolución de problemas matemáticos, en un sentido amplio, significa prácticamente lo mismo que el uso de las Matemáticas». Esto implica que la resolución de problemas es un eje metodológico fundamental en la enseñanza de las Matemáticas, y además es causa de diferentes y variadas situaciones de aprendizaje. El método de Polya El profesor húngaro G. Polya ha estudiado la importancia de los problemas dentro de la Matemática, y ha elaborado un procedimiento, posiblemente el más famoso de los existentes, para ayudar a la resolución de problemas. Se distinguen en el mismo las cuatro fases siguientes. Comprender el problema En este paso se trata de entender bien el problema planteado, analizando detalladamente el enunciado hasta fijar con precisión la incógnita, los datos y las condiciones, estudiando la compatibilidad, suficiencia y unicidad de los mismos. Para cumplir estos propósitos, pueden plantearse las siguientes preguntas y recomendaciones, que facilitarán la comprensión del problema propuesto: «¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es posible satisfacer la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita, o es insuficiente? ¿Es redundante? ¿Es contradictoria? ¿Cuáles son las hipótesis y cuál la tesis?». Para la total comprensión del enunciado puede ser conveniente asimismo dibujar una figura, introducir una notación conveniente, dividir la condición en sus partes, etcétera. Estas normas son fundamentales para tratar de resolver el problema, pero es relativamente frecuente el no saber hallar la solución por no haber entendido el enunciado. Además es necesario constatar la posibilidad del problema (es decir, la compatibilidad de las hipótesis) y la suficiencia de las hipótesis, para comprobar que, efectivamente, el problema está bien planteado. De no ser así, no podrá resolverse por ser lógicamente imperfecto. Así mismo, Polya sugiere que se traten de expresar mediante fórmulas las hipótesis —si fuera posible—, que se separen en partes para que queden más evidentes, etcétera. Imaginar un plan Aquí comienza propiamente el primer paso del proceso heurístico, y consiste en determinar un plan que sirva para resolverlo. En este momento, el alumno se convierte en un investigador en pequeño, y debe intentar desarrollar al máximo su capacidad creativa para ello. Tendrá que acudir a la intuición, la perspicacia y la imaginación que le lleven a conseguir esa idea feliz (insight en inglés) que constituya la clave para, después de seguir los pasos adecuados, llegar a la solución. Deberá utilizar la analogía, especialización, generalización, descomposición, recomposición e introducción de elementos auxiliares. Para ello, Polya recomienda hacerse las siguientes preguntas: «¿Se ha visto esto antes o, al menos, algo parecido? ¿Se conoce un problema que tenga relación con el dado? ¿Existe algún teorema o propiedad que pueda utilizarse? ¿Se recuerda algún problema que tenga una incógnita similar y que pueda servimos? ¿Pueden usarse al menos sus resultados o sus métodos? ¿Es posible introducir elementos auxiliares que permitan utilizarlos?». Si a pesar de las preguntas anteriores no se es capaz de resolver el problema, habrá que tratar de plantearse otro más sencillo que resultara más asequible. Con este fin pueden ser oportunas las siguientes preguntas: «¿Se puede plantear algún problema más asequible relacionado con el dado? ¿Y otro más general? ¿Y otro que fuera un caso particular del propuesto? ¿Y otro análogo? ¿Se puede al menos resolver una parte del problema? Si sólo se toma una parte de la condición, ¿se deduce algo de ello? ¿Se puede afirmar algo útil de los datos? Modificando los datos o la incógnita, ¿se llega a algo? ¿Estamos usando todos los datos? ¿Cuáles son las nociones esenciales del problema?». Esta es la fase fundamental del problema, en la que hay que diseñar el camino que se va a seguir, pero para ello será necesario tener una «idea feliz». Para conseguirla, Polya ha ideado las preguntas anteriores. Resumiendo, se trata en primer lugar de recurrir a la analogía, particularización o descomposición en partes. Si nada de eso diera resultado, es posible que la variación de alguno de los elementos del problema le convierta en otro más asequible que nos dé alguna pauta para abordarlo. En tal caso, habrá que dar posteriormente el salto para intentar resolver el problema inicial. Realizar el plan Una vez que se ha ideado el plan de resolución, hay que ejecutarlo, con las demostraciones y cálculos oportunos. Habrá que cerciorarse de que efectivamente los pasos que se den en esa dirección son correctos, y de que de la hipótesis hemos llegado finalmente a la tesis. Examinar el resultado En esta fase hay que realizar una revisión crítica del trabajo efectuado. Incluso, después de verificar las comprobaciones pertinentes y observar el desarrollo en conjunto, es posible que se deduzca una manera más corta o más elegante de presentarlo. Además, deberá tratarse de generalizar el problema y de encontrar aplicaciones, así como de intentar sintetizar el razonamiento hecho por si pudiera utilizarse otras veces. Observaciones al método de Polya Hay que distinguir dos aspectos en las ideas de Polya: la tesis pedagógica y el procedimiento concreto para resolver problemas. La tesis que propugna es en esencia el empleo del método heurístico, como resulta evidente; esto es, propiciar la actitud investigadora del alumno mediante el descubrimiento basado en su propio esfuerzo. Y en líneas generales, esta teoría pedagógica nos parece, como ya ha quedado de manifiesto hace tiempo, la más acertada para la enseñanza; aunque sin perder de vista algunas objeciones. En cuanto al procedimiento de resolución de problemas, es efectivamente un excelente plan sumamente detallado para cumplir ese objetivo. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que la actividad creadora es algo muy personal y, en consecuencia, muy variada, por lo que no admite normas rígidas. Como ya se ha indicado, existen por tanto dos posturas en relación con la aplicabilidad de un método de resolución de problemas: la que propugna la utilización de un procedimiento —en este caso el de Polya—, de forma totalmente automática —lo que supone darle un enfoque excesivamente algorítmico que posiblemente no nos lleve a encontrar esa idea feliz—, y la que entiende, como Gagné, que es imposible regular en el vacío las destrezas del pensamiento, y por tanto no asume ninguna de las indicaciones de Polya, con el consiguiente desconcierto ante la presencia de un problema creativo. La opinión más generalizada y la nuestra propia están en el punto medio de ambas tendencias; es decir, en aceptar las indicaciones de Polya, pero con una elasticidad conveniente, que dependerá de la naturaleza del problema y de la modalidad intelectual de quien trata de resolverlo. Otras teorías sobre la resolución de problemas Existen, como es lógico, otras teorías sobre la resolución de problemas, como la debida a Wickelgren. Mencionaremos de pasada las más importantes a nuestro juicio. Nos referimos en primer lugar al trabajo de Dewey, quien señala en 1910 cinco fases en la resolución: Presentación, definición del problema en términos de los rasgos esenciales, formulación de una hipótesis, ensayo de la misma, y comprobación de la hipótesis. Otro estudio de la resolución de problemas es el debido a Poincaré, en 1924, basado en la creencia de que el subconsciente sigue ensayando caminos para la resolución de un problema sobre el que se ha trabajado con esfuerzo. De él tomó parte de sus ideas Hadamard, quien establece cuatro etapas en la resolución: Preparación, incubación, iluminación y comprobación. Como se observa, las fases primera y cuarta son coincidentes básicamente con las de Polya; la diferencia estriba en las dos intermedias. Así como Polya defiende la tesis de que es posible llegar a la idea feliz por medio de una técnica concreta, Hadamard señala en cambio que prácticamente hay que esperar pacientemente a que aquélla venga. Desde luego existen muchos problemas que no se llegan a resolver por más que se quiera establecer una especie de rutina para ello, como es el método de Polya. Sin embargo sucede a veces que, tras numerosos intentos sin éxito en pos de la resolución, surge la feliz idea repentinamente después de haberlo dejado descansar, bien durante el sueño o mientras se ha abandonado el problema por otra actividad. La explicación más plausible es la misma que da Poincaré: que el proceso de incubación-iluminación es continuado por la mente, pero en un nivel subconsciente, ya que entonces, libre de la tensión generada por los intentos conscientes por resolverlo, puede seguir trabajando con el mismo de manera más relajada. Hay otro procedimiento para la resolución de un problema numérico, que establece los siguientes pasos: Recogida y tabulación de datos, localización de modelos, formulación de hipótesis y comprobación de la hipótesis. El lector interesado en el mismo puede consultar «Didáctica de las matemáticas», de A.Orton. J.D. Bransford y B.S. Stein exponen un método basado en los pasos: Identificación, definición, exploración, actuación y logros alcanzados. Este método proporciona una guía para desarrollar nuestra capacidad de resolver problemas de la vida cotidiana, donde están como caso particular los problemas matemáticos. El modelo de resolución que propone el Grupo Cero consta de tres etapas: Fase introductoria, fase exploratoria y fase de resolución; en esta última fase distinguen las categorías estrategias heurísticas y decisiones ejecutivas (hacer un plan, seleccionar objetivos y subobjetivos, buscar estrategias heurísticas, abandonar conjeturas erróneas y evaluar la solución). El modelo que propone Miguel de Guzmán se compone de cuatro etapas: Familiarizarse con el problema, buscar estrategias de resolución, trabajar la estrategia seleccionada y reflexionar sobre el proceso. El modelo de Mason-Burton-Stacey analiza el pensamiento y la experiencia matemática en general, que engloba como un caso particular la resolución de problemas. Los autores consideran tres fases: Abordaje, ataque y revisión. Señalamos para finalizar un aspecto interesante en relación con el tema que nos ocupa, formulado por el Departamento de Educación de la Universidad de Ohio en 1980: las consideraciones afectivas. En síntesis, se argumenta que para resolver un problema hay que desear encontrar la solución, sentir que se encuentra dentro de nuestras posibilidades y creer que, efectivamente se puede atacar el mismo. Ello está en abierta contradicción con la tesis de Polya, para quien «enseñar a resolver problemas es una educación de la voluntad». Estrategias y obstáculos Algo que puede ser de enorme utilidad —cuando no necesidad— es tener conocimiento de posibles estrategias para resolver problemas, así como de los obstáculos más frecuentes que pueden encontrarse los alumnos. Algunas estrategias que pueden desarrollarse son la busca de analogías con otros problemas, la división de un problema en otros más sencillos, o la generalización desde casos más concretos que el del problema. Por otro lado, algunos obstáculos al resolver problemas pueden ser la automatización que hace aplicar técnicas sin pensar, la sobremotivación o las limitaciones del cerebro humano para el tratamiento de la información.

Por si es de interés para alguien, incluyo el apartado sobre resolución de problemas de un breve trabajo que hice como memoria para un curso de primavera de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED), que tuvo lugar en Ávila en los días 31 de marzo, y 1 y 2 de abril del 2006. La introducción y los otros dos apartados, sobre metodología y didáctica, están en Un paseo científico. Quizá sean de interés las diferencias que se mencionan en la introducción entre los conceptos «metodología», «didáctica» y «pedagogía», por un lado, y «ejercicio» y «problema», por otro. El trabajo completo en formato PDF está disponible aquí:

. Me gustaría dejar claro que en este trabajo mi única aportación ha sido la compilación y redacción de su contenido, que tiene como autores a quienes se menciona en su bibliografía: Javier Brihuega Nieto, María B. Molero Aparicio y Adela Salvador Alcaide, Javier Peralta Coronado, y Carlos Romera Carrión. Gracias a ellos.

Resolución de problemas

     Como muy bien afirma el National Council of Teachers of Mathematics, «La resolución de problemas matemáticos, en un sentido amplio, significa prácticamente lo mismo que el uso de las Matemáticas». Esto implica que la resolución de problemas es un eje metodológico fundamental en la enseñanza de las Matemáticas, y además es causa de diferentes y variadas situaciones de aprendizaje.

     El método de Polya

     El profesor húngaro G. Polya ha estudiado la importancia de los problemas dentro de la Matemática, y ha elaborado un procedimiento, posiblemente el más famoso de los existentes, para ayudar a la resolución de problemas. Se distinguen en el mismo las cuatro fases siguientes.

     Comprender el problema

     En este paso se trata de entender bien el problema planteado, analizando detalladamente el enunciado hasta fijar con precisión la incógnita, los datos y las condiciones, estudiando la compatibilidad, suficiencia y unicidad de los mismos. Para cumplir estos propósitos, pueden plantearse las siguientes preguntas y recomendaciones, que facilitarán la comprensión del problema propuesto: «¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es posible satisfacer la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita, o es insuficiente? ¿Es redundante? ¿Es contradictoria? ¿Cuáles son las hipótesis y cuál la tesis?».
     Para la total comprensión del enunciado puede ser conveniente asimismo dibujar una figura, introducir una notación conveniente, dividir la condición en sus partes, etcétera.
     Estas normas son fundamentales para tratar de resolver el problema, pero es relativamente frecuente el no saber hallar la solución por no haber entendido el enunciado. Además es necesario constatar la posibilidad del problema (es decir, la compatibilidad de las hipótesis) y la suficiencia de las hipótesis, para comprobar que, efectivamente, el problema está bien planteado. De no ser así, no podrá resolverse por ser lógicamente imperfecto.
     Así mismo, Polya sugiere que se traten de expresar mediante fórmulas las hipótesis —si fuera posible—, que se separen en partes para que queden más evidentes, etcétera.

     Imaginar un plan

     Aquí comienza propiamente el primer paso del proceso heurístico, y consiste en determinar un plan que sirva para resolverlo.
     En este momento, el alumno se convierte en un investigador en pequeño, y debe intentar desarrollar al máximo su capacidad creativa para ello. Tendrá que acudir a la intuición, la perspicacia y la imaginación que le lleven a conseguir esa idea feliz (insight en inglés) que constituya la clave para, después de seguir los pasos adecuados, llegar a la solución.
     Deberá utilizar la analogía, especialización, generalización, descomposición, recomposición e introducción de elementos auxiliares. Para ello, Polya recomienda hacerse las siguientes preguntas: «¿Se ha visto esto antes o, al menos, algo parecido? ¿Se conoce un problema que tenga relación con el dado? ¿Existe algún teorema o propiedad que pueda utilizarse? ¿Se recuerda algún problema que tenga una incógnita similar y que pueda servimos? ¿Pueden usarse al menos sus resultados o sus métodos? ¿Es posible introducir elementos auxiliares que permitan utilizarlos?».
     Si a pesar de las preguntas anteriores no se es capaz de resolver el problema, habrá que tratar de plantearse otro más sencillo que resultara más asequible. Con este fin pueden ser oportunas las siguientes preguntas: «¿Se puede plantear algún problema más asequible relacionado con el dado? ¿Y otro más general? ¿Y otro que fuera un caso particular del propuesto? ¿Y otro análogo? ¿Se puede al menos resolver una parte del problema? Si sólo se toma una parte de la condición, ¿se deduce algo de ello? ¿Se puede afirmar algo útil de los datos? Modificando los datos o la incógnita, ¿se llega a algo? ¿Estamos usando todos los datos? ¿Cuáles son las nociones esenciales del problema?».
     Esta es la fase fundamental del problema, en la que hay que diseñar el camino que se va a seguir, pero para ello será necesario tener una «idea feliz». Para conseguirla, Polya ha ideado las preguntas anteriores.
     Resumiendo, se trata en primer lugar de recurrir a la analogía, particularización o descomposición en partes. Si nada de eso diera resultado, es posible que la variación de alguno de los elementos del problema le convierta en otro más asequible que nos dé alguna pauta para abordarlo. En tal caso, habrá que dar posteriormente el salto para intentar resolver el problema inicial.

     Realizar el plan

     Una vez que se ha ideado el plan de resolución, hay que ejecutarlo, con las demostraciones y cálculos oportunos.
     Habrá que cerciorarse de que efectivamente los pasos que se den en esa dirección son correctos, y de que de la hipótesis hemos llegado finalmente a la tesis.

     Examinar el resultado

     En esta fase hay que realizar una revisión crítica del trabajo efectuado. Incluso, después de verificar las comprobaciones pertinentes y observar el desarrollo en conjunto, es posible que se deduzca una manera más corta o más elegante de presentarlo.
     Además, deberá tratarse de generalizar el problema y de encontrar aplicaciones, así como de intentar sintetizar el razonamiento hecho por si pudiera utilizarse otras veces.

     Observaciones al método de Polya

     Hay que distinguir dos aspectos en las ideas de Polya: la tesis pedagógica y el procedimiento concreto para resolver problemas.
     La tesis que propugna es en esencia el empleo del método heurístico, como resulta evidente; esto es, propiciar la actitud investigadora del alumno mediante el descubrimiento basado en su propio esfuerzo. Y en líneas generales, esta teoría pedagógica nos parece, como ya ha quedado de manifiesto hace tiempo, la más acertada para la enseñanza; aunque sin perder de vista algunas objeciones.
     En cuanto al procedimiento de resolución de problemas, es efectivamente un excelente plan sumamente detallado para cumplir ese objetivo. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que la actividad creadora es algo muy personal y, en consecuencia, muy variada, por lo que no admite normas rígidas.
     Como ya se ha indicado, existen por tanto dos posturas en relación con la aplicabilidad de un método de resolución de problemas: la que propugna la utilización de un procedimiento —en este caso el de Polya—, de forma totalmente automática —lo que supone darle un enfoque excesivamente algorítmico que posiblemente no nos lleve a encontrar esa idea feliz—, y la que entiende, como Gagné, que es imposible regular en el vacío las destrezas del pensamiento, y por tanto no asume ninguna de las indicaciones de Polya, con el consiguiente desconcierto ante la presencia de un problema creativo.
     La opinión más generalizada y la nuestra propia están en el punto medio de ambas tendencias; es decir, en aceptar las indicaciones de Polya, pero con una elasticidad conveniente, que dependerá de la naturaleza del problema y de la modalidad intelectual de quien trata de resolverlo.

     Otras teorías sobre la resolución de problemas

     Existen, como es lógico, otras teorías sobre la resolución de problemas, como la debida a Wickelgren. Mencionaremos de pasada las más importantes a nuestro juicio.
     Nos referimos en primer lugar al trabajo de Dewey, quien señala en 1910 cinco fases en la resolución: Presentación, definición del problema en términos de los rasgos esenciales, formulación de una hipótesis, ensayo de la misma, y comprobación de la hipótesis.
     Otro estudio de la resolución de problemas es el debido a Poincaré, en 1924, basado en la creencia de que el subconsciente sigue ensayando caminos para la resolución de un problema sobre el que se ha trabajado con esfuerzo. De él tomó parte de sus ideas Hadamard, quien establece cuatro etapas en la resolución: Preparación, incubación, iluminación y comprobación.
     Como se observa, las fases primera y cuarta son coincidentes básicamente con las de Polya; la diferencia estriba en las dos intermedias. Así como Polya defiende la tesis de que es posible llegar a la idea feliz por medio de una técnica concreta, Hadamard señala en cambio que prácticamente hay que esperar pacientemente a que aquélla venga.
     Desde luego existen muchos problemas que no se llegan a resolver por más que se quiera establecer una especie de rutina para ello, como es el método de Polya. Sin embargo sucede a veces que, tras numerosos intentos sin éxito en pos de la resolución, surge la feliz idea repentinamente después de haberlo dejado descansar, bien durante el sueño o mientras se ha abandonado el problema por otra actividad. La explicación más plausible es la misma que da Poincaré: que el proceso de incubación-iluminación es continuado por la mente, pero en un nivel subconsciente, ya que entonces, libre de la tensión generada por los intentos conscientes por resolverlo, puede seguir trabajando con el mismo de manera más relajada.
     Hay otro procedimiento para la resolución de un problema numérico, que establece los siguientes pasos: Recogida y tabulación de datos, localización de modelos, formulación de hipótesis y comprobación de la hipótesis. El lector interesado en el mismo puede consultar «Didáctica de las matemáticas», de A.Orton.
     J.D. Bransford y B.S. Stein exponen un método basado en los pasos: Identificación, definición, exploración, actuación y logros alcanzados. Este método proporciona una guía para desarrollar nuestra capacidad de resolver problemas de la vida cotidiana, donde están como caso particular los problemas matemáticos.
     El modelo de resolución que propone el Grupo Cero consta de tres etapas: Fase introductoria, fase exploratoria y fase de resolución; en esta última fase distinguen las categorías estrategias heurísticas y decisiones ejecutivas (hacer un plan, seleccionar objetivos y subobjetivos, buscar estrategias heurísticas, abandonar conjeturas erróneas y evaluar la solución).
     El modelo que propone Miguel de Guzmán se compone de cuatro etapas: Familiarizarse con el problema, buscar estrategias de resolución, trabajar la estrategia seleccionada y reflexionar sobre el proceso.
     El modelo de Mason-Burton-Stacey analiza el pensamiento y la experiencia matemática en general, que engloba como un caso particular la resolución de problemas. Los autores consideran tres fases: Abordaje, ataque y revisión.
     Señalamos para finalizar un aspecto interesante en relación con el tema que nos ocupa, formulado por el Departamento de Educación de la Universidad de Ohio en 1980: las consideraciones afectivas. En síntesis, se argumenta que para resolver un problema hay que desear encontrar la solución, sentir que se encuentra dentro de nuestras posibilidades y creer que, efectivamente se puede atacar el mismo. Ello está en abierta contradicción con la tesis de Polya, para quien «enseñar a resolver problemas es una educación de la voluntad».

     Estrategias y obstáculos

     Algo que puede ser de enorme utilidad —cuando no necesidad— es tener conocimiento de posibles estrategias para resolver problemas, así como de los obstáculos más frecuentes que pueden encontrarse los alumnos. Algunas estrategias que pueden desarrollarse son la busca de analogías con otros problemas, la división de un problema en otros más sencillos, o la generalización desde casos más concretos que el del problema. Por otro lado, algunos obstáculos al resolver problemas pueden ser la automatización que hace aplicar técnicas sin pensar, la sobremotivación o las limitaciones del cerebro humano para el tratamiento de la información.

David Casado de Lucas
Memoria del curso Estrategias para una educación de calidad

Ávila: 31 de marzo, y 1 y 2 de abril del 2006

Para pensar mejor. Desarrollo de la creatividad a través de los procesos matemáticos

0. ¿Pensar mejor?
¿Se puede mejorar? [...] Llegamos a convencernos de que el aprendizaje del pensamiento es aprendizaje de cosas de fuera de él mismo. Aprendemos destrezas psicomotrices, sonidos, palabras, letras, lenguas, números, operaciones... y todo ello fundamentalmente mimetizando la forma de proceder de nuestros mayores. Y así tiene que ser en una etapa inicial. Pero nunca, ni en nuestra niñez, ni más adelante, los procesos mismos de pensamiento suelen ser el objeto central de nuestro aprendizaje. ¿Se podría hacer? ¿En qué podría consistir? ¿Será de algún provecho? [...] Hacia un programa de acción La mejora de los propios procesos de pensamiento pasa, naturalmente, por la práctica a fondo del pensamiento. Como afirman G. Polya y G. Szego, dos grandes maestros en el arte de pensar matemáticamente, «en el aprendizaje del pensar sólo la práctica del pensar es verdaderamente útil». El camino ideal para perfeccionar los procesos de mi pensamiento consiste en ponerme, en compañía de un experto, delante de un problema adecuado, un genuino y estimulante problema, proporcionado a mis posibilidades y que sea, al tiempo, un verdadero problema para el experto. Éste trata de resolver el problema haciéndome conocer cada uno de los movimientos de su propio pensamiento en el enfrentamiento con el problema. Después de repetir el proceso con varios problemas de este mismo tipo, la observación por mi parte de su proceso de pensamiento me habrá dado a conocer muy probablemente estrategias que resultan efectivas y que se pueden explicitar y concretar con la ayuda del experto mismo. A continuación soy yo mismo quien debo enfrentarme con un problema de las mismas características, haciéndole al experto partícipe de cada uno de los procesos de mi pensamiento, de modo que él pueda observarme y, con cierto equilibrio, que respete mi autonomía, cosa nada fácil, sugerir con tacto, cuando haga falta, acciones que puedan aproximarse a los modos de proceder correctos ya antes detectados y que se me puedan pasar por alto en esta ocasión. Este proceso lo repetimos hasta que yo haya asimilado de forma profunda las estrategias del experto para problemas de este tipo. Se puede conjeturar muy razonablemente que quien pudiera estar bajo la tutela de un experto que le condujera de esta forma por un cierto período de tiempo no tardaría en adquirir hábitos mentales que le capacitarían para un manejo eficaz de los problemas del campo en cuestión. Ciertamente, estas condiciones son un tanto utópicas. ¿Dónde está el experto que con tal tino, tacto, suavidad..., pueda permanecer a nuestro lado resolviendo problemas de esta forma directa, transparente, con perspicacia para expresar de forma explícita sus propias estrategias y que sea capaz de observar comprensivamente los intentos de nuestro pensamiento frente a los problemas y de estimularlo y conducir con acierto nuestra asimilación personal de sus destrezas? La utopía sirve al menos para señalar la dirección, para marcar un camino. Aunque no lleguemos al 100, tal vez logremos el 75..., si nos ponemos en marcha. De otro modo ciertamente nos quedaremos donde estamos. Se pueden diseñar planes de acción que se aproximen al programa ideal de mejora del pensamiento. [...]
1. La actitud adecuada
Un verdadero problema es un auténtico reto. Sabemos, más o menos, a dónde queremos llegar, pero ignoramos el camino. Ante esta situación caben diversas actitudes negativas que pueden obstaculizar nuestro avance: Miedo a lo desconocido y el consiguiente retraimiento. Podemos tratar de eludir el problema o al menos posponerlo a otro momento en que nos sintamos más aguerridos. Nerviosismo al tratar de echar a andar, prisa por acabar cuanto antes. Como en la sala del dentista desearíamos estar ya saliendo. Cierta desazón ante la prueba se apodera de nosotros. La situación misma es como un antipático examen que he de afrontar. Aunque nadie me observe, yo mismo me estoy observando. ¿Suspenderé? Y si suspendo, descontando otras desventuras, mi propia estima se irá desmoronando. Toda esta variedad de actitudes negativas puede minar seriamente nuestra intervención: — Impidiéndonos la utilización al máximo de nuestra capacidad. — Impulsándonos a tomar por bueno inmediatamente cualquier indicio de solución. — Eliminando el placer que en el ejercicio sano de nuestras facultades podermos ciertamente encontrar. — Creando en nosotros un hábito de amedrentamiento y un complejo de inutilidad cada vez más acusado. Para contrarrestar estas amenazas podemos comenzar por considerar nuestra situación objetivamente. Tenemos razones más que suficientes para equilibrar nuestros negros pensamientos. Confianza Las capacidades de los hombres difieren bastante poco. El mero hecho de llegar a ser capaz de hablar coloca las mentes de todos nosotros sobre una meseta situada [a] tal altura que las pequeñas colinas que en ella se dan resultan insignificantes en relación con la altitud a la que todos estamos ya colocados. La direrencia entre el virtuoso en una actividad cualquiera y el promedio se debe mucho más a la intensidad de su práctica que a una verdadera diferencia en su potencial inicial. La plasticidad de nuestras capacidades es inmensa y esto podría y debería engendrar en nosotros una gran confianza: «Si de verdad lo quisiera y si invirtiera tiempo y esfuerzo suficiente, también yo podría alcanzar cotas parecidas en esa actividad». [...] Atención a los posibles bloqueos Según muchos psicólogos, aprovechamos tan sólo una pequeña parte de nuestra capacidad intelectual real. Es decir, hay en todos nosotros un enorme caudal de aptitudes que permanecen inactivas, estériles. Las diferencias que observamos en las capacidades efectivas de las personas provienen, muy preponderantemente, de la mayor o menor destreza con que cada uno de nosotros aprovechamos nuestras potencialidades. Se podría decir con bastante justificación que los que sobresalen en un cierto campo son aquellos que han logrado encauzar adecuadamente un conjunto de sus talentos que colabora armoniosamente en una dirección determinada. Las barreras que nos impiden el ejercicio de tanta potencia adormecida son los bloqueos de nuestro espíritu. Como veremos a continuación, hay múltiples formas de bloqueos, con orígenes muy diversos, que se aposentan en diferentes zonas de nuestra personalidad y que admiten tratamientos más o menos fáciles. Si realmente lográramos liberarnos de unos cuantos de estos bloquos en un grado significativo, el progreso en nuestra actividad global podría ser realmente importante. El primer paso esencial para el tratamiento de los bloqueos que, en mayor o menor grado, afectan [a] la personalidad de todos nosotros consiste en conocerlos. Si somos capaces de percibir sus efectos atenazantes sobre nuestra estructura mental, podremos tratar de contrarrestar adecuadamente su acción poniendo los medios convenientes para ello. En los capítulos que siguen vamos a explorar algunos tipos de bloqueos más comunes. [...]
25. La estructuración del conocimiento
[...] De Groot estudió comparativamente los modos de actuación de ex campeones mundiales de ajedrez a quienes llamaremos campeones y de jugadores de club bastante buenos a quienes llamaremos los no tan expertos. Las primeras conclusiones a las que sus estudios le condujeron son las siguientes. Ante una misma situación del tablero, en el intento por encontar el mejor movimiento, tanto los campeones como los no tan expertos tendían a considerar el mismo número de movimientos posibles. También anticipaban mentalmente aproximadamente el mismo número de jugadas en su evaluación de los movimientos. Lo que diferenciaba a los campeones era que reconocían el mejor movimiento de modo natural y le dedicaban su consideración principal. Lo que a los campeones guía de esta forma es la presencia en su mente de un gran almacén de las posiciones típicas del ajedrez en las que están integradas las experiencias de eficacia de tal o cual movimento. [...] Todo esto parece indicar que la superioridad del campeón sobre el no tan experto no consiste en la capacidad superior del primero para anticipar cinco o seis jugadas mientras el no tan experto anticipa sólo dos o tres, como comúnmente se cree. Ni tampoco el campeón lo es por poseer una mera memoria visual extraordinaria que le permite retener en su mente de modo fácil un tablero y sus muchas posibles transformaciones, sino más bien porque su mente es capaz de conservar, evaluar y reproducir las estructuras del juego implicadas en una posición determinada. [...]
APÉNDICE. El retrato heurístico
Conocerse a fondo a sí mismo es uno de los ideales constantemente inculcados por los filósofos de todos los tiempos. Y no sin razón. Desde el punto de vista que aquí nos ocupa, el conocerme a mí mismo con rigor me proporciona ante todo la posibilidad de utilizar mis propios recursos de la forma más eficaz posible, con la consiguiente satisfacción por el sano ejercicio de mi propia capacidad y porque con ello alcanzaré con seguridad un rendimiento más pleno. [...]

Miguel de Guzmán
Para pensar mejor. Desarrollo de la creatividad a través de los procesos matemáticos
Madrid: Ediciones Pirámide, 2004

Mi noche abierta. Cartas. Y pensamientos y poesías inéditos

Mis cartas abiertas: A los estudiantes
He seguido, con una gratificante sensación, la multitudinaria manifestación de disconformidad de los estudiantes españoles con la LOU. Sin entrar en el fondo del conflicto, pues lo desconozco con el rigor que sería necesario, el numerosísimo censo de jóvenes universitarios movilizados ha venido a desmentir en mí un convencimiento, crecido en los últimos años, sobre la conciencia de las nuevas generaciones. Tomo como dato positivo que el movimiento, la agrupación, la manifestación y la protesta no hayan sucumbido aún bajo los efluvios de esta sociedad hedonista, escapista, no pocas veces superficial y casi siempre urgente. Desde el espejismo de mayo del 68 hasta nuestros días, hemos tenido tiempo para comprobar que algunos impulsores de aquellos sueños se convirtieron luego en paquidermos y que pocos de ellos han seguido soñando. Y aquí es donde instalo esta pequeña reflexión de hoy. Si hay alguna dictadura imbatible en nuestra sociedad es la de los intereses capitales e hipotecas. Lamentablemente lo normal es que a partir de cierto momento en la vida, de cierta edad, los ideales pasen a un segundo plano para dar paso, en el mejor de los casos, al confort y a las facturas. A ceder el ser por el tener. Ahí suele morir el estudiante. Comprendo que por aquello del «primum vivere dehinde filosofare» muchos ideales se conviertan en encogimiento de hombros, pero no deja de dolerme. Por eso me parecen estudiante ejemplares, saludables, rebeldes, incansables, incontestables, personajes como José Luis Sampedro, José Luis Aranguren, Fernando Arrabal, Juan Goytisolo, Fernando Savater, Severo Ochoa, Antonio Buero Vallejo... y todos los que como ellos (sin ser mayoría) no han rendido su pensamiento a la corriente imperante. Ni a la edad. No se trata sólo de discutir la LOU, la LOAPA, o la ley de la patada en la puerta, se trata de pasar los setenta y los ochenta y cinco años y más con un espíritu y una dignidad que no tiene por qué morir a los veintiuno. Yo ya no estaré, pero me gustaría saber cuántos de los miles y miles que se manifiestan hoy, seguirán manteniendo su actitud sólo dentro de treinta años. Por favor, «me lo cuenten». ¿He dicho treinta? Creo que sobra con diez.

Mis cartas abiertas: A los estudiantes

He seguido, con una gratificante sensación, la multitudinaria manifestación de disconformidad de los estudiantes españoles con la LOU. Sin entrar en el fondo del conflicto, pues lo desconozco con el rigor que sería necesario, el numerosísimo censo de jóvenes universitarios movilizados ha venido a desmentir en mí un convencimiento, crecido en los últimos años, sobre la conciencia de las nuevas generaciones. Tomo como dato positivo que el movimiento, la agrupación, la manifestación y la protesta no hayan sucumbido aún bajo los efluvios de esta sociedad hedonista, escapista, no pocas veces superficial y casi siempre urgente.
     Desde el espejismo de mayo del 68 hasta nuestros días, hemos tenido tiempo para comprobar que algunos impulsores de aquellos sueños se convirtieron luego en paquidermos y que pocos de ellos han seguido soñando. Y aquí es donde instalo esta pequeña reflexión de hoy.
     Si hay alguna dictadura imbatible en nuestra sociedad es la de los intereses capitales e hipotecas. Lamentablemente lo normal es que a partir de cierto momento en la vida, de cierta edad, los ideales pasen a un segundo plano para dar paso, en el mejor de los casos, al confort y a las facturas. A ceder el ser por el tener. Ahí suele morir el estudiante. Comprendo que por aquello del «primum vivere dehinde filosofare» muchos ideales se conviertan en encogimiento de hombros, pero no deja de dolerme. Por eso me parecen estudiante ejemplares, saludables, rebeldes, incansables, incontestables, personajes como José Luis Sampedro, José Luis Aranguren, Fernando Arrabal, Juan Goytisolo, Fernando Savater, Severo Ochoa, Antonio Buero Vallejo... y todos los que como ellos (sin ser mayoría) no han rendido su pensamiento a la corriente imperante. Ni a la edad.
     No se trata sólo de discutir la LOU, la LOAPA, o la ley de la patada en la puerta, se trata de pasar los setenta y los ochenta y cinco años y más con un espíritu y una dignidad que no tiene por qué morir a los veintiuno.
Yo ya no estaré, pero me gustaría saber cuántos de los miles y miles que se manifiestan hoy, seguirán manteniendo su actitud sólo dentro de treinta años. Por favor, «me lo cuenten».
     ¿He dicho treinta?
     Creo que sobra con diez.

Pedro Ruiz
Mi noche abierta. Cartas. Y pensamientos y poesías inéditos
Madrid: Ediciones Martínez-Roca, S. A., 1ª Ed., 2003

Ciencia e hipótesis

El número y la magnitud
Sobre la naturaleza del razonamiento matemático [...] ¿Por qué es necesaria una preparación tan larga para habituarse a este rigor perfecto que, parece, debería imponerse naturalmente a todas las mentes sanas? Ése es un problema lógico y psicológico realmente digno de ser meditado. Pero no nos detendremos en él; es extraño a nuestro objeto [...].

Henri Poincaré
Ciencia e hipótesis
Madrid: Espasa Calpe, 2002

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David Casado de Lucas

Última actualización: Enero del 2012

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