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Por si es de interés para alguien, incluyo tanto la introducción como los apartados sobre metodología y didáctica de la matemática de un breve trabajo que hice como memoria para un curso de primavera de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED), que tuvo lugar en Ávila en los días 31 de marzo, y 1 y 2 de abril del 2006. Quizá sean de interés las diferencias que se mencionan en la introducción entre los conceptos «metodología», «didáctica» y «pedagogía», por un lado, y «ejercicio» y «problema», por otro. El otro apartado del curso, sobre resolución de problemas, está incluido en Para un alumno. El trabajo completo en formato PDF está disponible aquí: . Me gustaría dejar claro que en este trabajo mi única aportación ha sido la compilación y redacción de su contenido, que tiene como autores a quienes se menciona en su bibliografía: Javier Brihuega Nieto, María-B. Molero Aparicio y Adela Salvador Alcaide, Javier Peralta Coronado, y Carlos Romera Carrión. Gracias a ellos. |
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Introducción |
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Motivado por la teoría vista en el curso, y con la intención de sacarle el máximo provecho profesional, he pensado hacer un trabajo que incluya algunos puntos relacionados con la enseñanza de las Matemáticas y que, como docente, conviene tener en mente. Parte de la teoría vista en las clases del curso está también incluida en los libros que he utilizado como fuente de información para elaborar este trabajo, pero me ha parecido de mayor interés hacer este compendio que limitarme a repetir esa información. He adaptado el grado de desarrollo de los puntos al nivel que pienso que se le exige a un trabajo de estas características; obviamente siempre es posible ampliar indefinidamente la materia. La mayor parte de las ideas están sacadas de tres libros, los que a su vez remiten a las fuentes originales de célebres matemáticos y pedagogos. Ordenada por orden decreciente de generalidad, esto es, de más general a menos, este trabajo constituye un posible guión para la enseñanza de las Matemáticas, tanto en las etapas primaria y secundaria, como en la universitaria. En los siguientes párrafos de la introducción se mencionan asuntos tales como el rechazo a las Matemáticas, su dificultad como materia y algunos defectos en su enseñanza. El primer apartado del trabajo se dedica a la metodología, e incluye algunas directrices generales. El segundo apartado, con numerosas sugerencias, se dedica a la didáctica. Después se incluyen algunos protocolos para la resolución de problemas. Una posible última parte del trabajo podría incluir ejemplos de problemas concretos de Matemáticas, obviamente adaptados al nivel de los alumnos, para poner en práctica las ideas incluidas en los apartados anteriores; pero no se ha desarrollado esta parte porque extendería demasiado este trabajo. Las Matemáticas tienen el dudoso honor de ser una de las asignaturas menos populares de las distintas etapas educativas. Muchos alumnos dicen que no las entienden y les son antipáticas y, sin embargo, quienes las entienden y manejas sin dificultad —los menos— afirman que son muy fáciles y que incluso pueden llegar a ser divertidas. No obstante, la mayoría de la gente reconoce su utilidad. Hay, sin embargo, cierta correlación entre la actitud y el rendimiento en dicha materia, de forma que puede afirmarse en términos generales que quienes consideran las Matemáticas como interesantes y divertidas suelen obtener un buen rendimiento en esa asignatura, y viceversa. Entre todas la materias, las Matemáticas es la que más posee el carácter de disciplina, como resultado de un conjunto de propiedades que tiene en mayor grado que otras asignaturas: es la más lógica, la más esquemática, la más formal por sus figuras, diagramas y algoritmos, la más sistemática y la más organizada de forma hipotético-deductiva a partir de los axiomas que definen su estructura. Es considerada como la rama más exigente, en ella un error casi siempre se propaga, «hay que ir al grano», no se puede «andar por las ramas» como en otras asignaturas, y es necesario trabajar mucho para adquirir ciertas capacidades y destrezas. Es una asignatura jerarquizada en la que unos conceptos dependen de otros previos que deben dominarse, tiene un carácter global y acumulativo. Requiere un gran nivel de abstracción y una gran necesidad de comprensión. También existen otros factores externos a las Matemáticas que contribuyen a fomentar la aversión a ellas, como son la importancia que se les da o el respeto que se les tiene. La enseñanza poco correcta puede también aumentar su dificultad: el divorcio entre las Matemáticas y la realidad, la desconexión entre la génesis y la transmisión de conocimientos, o la poca motivación que causa su enseñanza expositiva. Algunas posibles soluciones serían: abandonar el método de enseñanza puramente expositivo y utilizar aplicaciones de las Matemáticas cercanas al alumno, buscar situaciones motivadoras, desarrollar la intuición de los alumnos, involucrar al alumno y después guiarlo, estimularlo psicológicamente y acercarse a él. En opinión de Polya, el profesor de Matemáticas debe verse a sí mismo como un vendedor: quiere vender Matemáticas a los jóvenes. Antes de seguir adelante conviene dejar claras algunas diferencias importantes. Tanto los términos «pedagogía» y «didáctica» derivan del griego pero, mientras el primero significa «el arte de educar», el segundo quiere decir «enseñar o explicar algo concreto», por lo que la didáctica de la Matemática se refiere al arte —algunas veces llamado ciencia— de enseñar Matemáticas. Es decir, que mientras la pedagogía busca lo que hay de común entre todos los aprendizajes, la didáctica se interesa en el aprendizaje de un saber determinado. Con respecto a la «metodología», hay que reconocer que la diferencia con la didáctica es muy sutil, ya que la primera estudia los métodos de enseñanza, por lo que es más una ciencia que un arte. Quizá también convenga aclarar la diferencia entre «ejercicio», que es lo que generalmente aparece en los textos, y «problema». Por ejemplo, encontrar un término del desarrollo de un binomio pudo haber sido un problema antes de que Newton llegara a formular su solución, pero actualmente es un ejercicio más, pues el alumno ya tiene marcado el camino para su resolución. En cambio, para resolver un problema es necesario formularse preguntas, plantearse conjeturas, analizar situaciones, hacer pruebas para casos particulares, etcétera. |
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Metodología |
Algunos consejos útiles, desde el punto de vista metodológico, para la enseñanza en Matemáticas pueden ser los siguientes:
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Didáctica |
Las sugerencias didácticas que presentamos son debidas a Puig Adam, con el convencimiento de que a pesar de la cantidad de tiempo transcurrido desde que fueron formuladas, mantienen actualmente toda su frescura y conservan su importancia. La intención que se sigue con ello es la de tratar de despertar una conciencia didáctica, es decir, inspirar formas de sentir más que modos que hacer, como señala Puig. Son las siguientes.
A veces, no obstante, las nociones matemáticas no tienen su origen en situaciones reales, sino que son creadas por problemas estrictamente matemáticos; en ocasiones, sin embargo, la teoría matemática elaborada a partir de aquéllas tiene importantes aplicaciones prácticas, lo que indica una reversibilidad entre la matemática pura y la matemática aplicada. Baste con citar el caso de los números complejos, que surgieron en la mente humana a raíz de la resolución de ecuaciones (problema estrictamente matemático), y tienen en cambio su utilidad, además de por supuesto en Matemáticas, en numerosos campos de la Física y la Ingeniería: electrónica, catenaria, mecánica de fluidos, etcétera.
En la utilización del método heurístico para la enseñanza, es conveniente que después de usado los alumnos comprueben sus soluciones y desarrollen un debate en el que se pongan sobre la mesa los resultados obtenidos para, en su caso, efectuar las correcciones oportunas.
No estamos sin embargo, como es evidente, en contra de las reglas cuando éstas son posteriores al dominio del procedimiento, es decir, cuando proceden de una labor de síntesis al contemplar conjuntamente y desde un mismo punto de vista distintos casos ya resueltos. Si es así, tienen un auténtico valor formativo y práctico, y además permiten adaptarse a cada caso particular con flexibilidad, sin la rigidez que conlleva la aplicación de una regla dada como una receta, con desconocimiento de las esencias metódicas que resume.
Antes de exigir prematuramente repeticiones memorísticas, es preferible esperar a que la perfección expresiva se alcance como consecuencia natural de la fidelidad al pensamiento y del progresivo dominio del lenguaje, como afirma Puig Adam.
Para luchar contra ello habrá que intentar proporcionar éxitos a los alumnos, incluso a los peor dotados; éxitos que deben provenir de la participación en descubrimientos. Por tanto, procuraremos que en toda tarea propuesta, colección de problemas, o ejercicio de evaluación, haya alguna cuestión —mejor de entre las primeras— que sea muy sencilla de resolver, y que dé ánimo a esos alumnos poco brillantes pero, de los que en cambio, tenemos constancia de que son trabajadores. |
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David Casado de Lucas Memoria del curso Estrategias para una educación de calidad Ávila: 31 de marzo, y 1 y 2 de abril del 2006 |
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George Polya Mathematical Discovery |
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Fragmento de la Introducción |
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[...] De hecho, a menudo se presume del analfabetismo matemático, contrariamente a lo que se hace con otros defectos, que se ocultan: «A duras penas soy capaz de cuadrar mi talonario de cheques». «Soy una persona corriente, no una persona de números». O también: «Las mates siempre me sentaron mal». Este travieso enorgullecerse de la propia ignorancia matemática se debe, en parte, a que sus consecuencias no suelen ser tan evidentes como las de otras incapacidades. [...] Una consecuencia del anumerismo de la que raramente se habla, es su conexión con la creencia en seudociencia. Aquí estudiaremos la interrelación entre ambas. En una sociedad en la que la ingeniería genética, la tecnología láser y los circuitos en microchip incrementan a diaria nuestra comprensión de mundo, resulta especialmente lamentable que una parte de la población adulta crea aún en las cartas del Tarot, en la comunicación mediúmnica y en los poderes del cristal. |
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Fragmento de ¿A qué se debe el anumerismo? |
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[...] A menudo se considera que la matemática es un tema reservado para los técnicos, y se confunde el talento matemático con la pericia para ejecutar operaciones rutinarias, la habilidad en programación elemental o la velocidad de cálculo. Es curioso, pero mucha gente ensalza y denuesta al mismo tiempo a los matemáticos y a los científicos por su actividad constante pero poco práctica. En consecuencia, se da frecuentemente el caso de que la industria corteja con fervor a matemáticos, ingenieros y científicos con experiencia para luego ponerlos a las órdenes de MBA de nuevo cuño y de contables. Otro prejuicio de la gente hacia la matemática es que su estudio entorpece la capacidad para apreciar la naturaleza y los «grandes» temas. Esta propuesta es expresada con bastante frecuencia (por ejemplo, en la cita de Whitman¹ del principio del capítulo), pero raramente se dan argumentos en su favor, por lo que resulta difícil de refutar. Tiene tanto sentido como creer que, por tener conocimientos técnicos sobre biología molecular, una persona será menos capaz de apreciar los misterios y complejidades de la vida. [...] |
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¹ «Cuando oí al sabio astrónomo, cuyas lecciones despertaban tanta admiración en el aula / Qué inexplicablemente pronto empecé a sentirme cansado y hastiado» Walt Whitman. |
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John Allen Paulos El hombre anumérico. El analfabetismo matemático y sus consecuencias Barcelona: Tusquets Editores, S. A., 5ª Ed., 2000 |
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Fragmento del Capítulo XXI |
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| «Yo no sé lo que le puedo parecer al mundo, pero yo mismo me considero ser sólo semejante a un niño, jugando a la orilla del mar y divirtiéndome yo solo, encontrando, de vez en cuando, una piedra lisa o una hermosa concha común, mientras el gran océano de la verdad permanece totalmente desconocido ante mí.» Newton |
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Adrián García Jiménez Newton Barcelona: Labor, 1992 |
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Quiero dar las gracias a las personas que hacen posibles proyectos como Linux, Debian, GNU Emacs, GIMP, The W3C Markup Validation Service y Servicio de Validación de CSS del W3C, entre otros, y ponen a disposición de los usuarios, de forma gratuita, programas de tan alta calidad.
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